曲面参数化概述

前言

对于如何确定本篇文章的内容涵盖范围这个问题，我想了很久，最终打算从最基本的什么是形状（shape） 这个问题谈起。

形状的本质

在拓扑相关的理论中，形状是指\(n-1\)维流形（manifold）在\(n\)维流形中的嵌套。

流形是连续的，详细的定义也较为复杂，可以从以下两点来辅助理解流形的概念：

1. \(n\) 维流形的局部与 \(\mathbb R^n\) 等价，例如：曲面（二维流形）的局部是二维平面。
2. 对流形进行网格剖分，得到的离散流形除去边缘边之外，其他边有且仅有两个面与之相邻。

所以我们可以认为，在 \(\mathbb R^n\) 或更高维欧式空间中观测不同 \(n-1\)维流形的嵌套，就是在观测不同的形状。

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更严谨的，对于一个向量函数，可以表达为 \(f: \mathbb {R}^n \mapsto \mathbb {R}^m\).

我们令 \(\vec x = \left( x_1,\, \dots,\, x_n \right)^T \in \mathbb R^n\)， \(\vec y = \left(y_1,\, \dots,\, y_m \right)^T \in \mathbb R^m\)，故：

\[ \vec y = f(\vec x) \implies \begin{cases} y_1 = f_1(x_1, \, \dots,\, x_n) \\[2ex] y_i = f_i(x_1, \, \dots,\, x_n) \\[2ex] y_m = f_m(x_1, \, \dots,\, x_n) \end{cases} \]

假设 \(f\) 是可微的，在自变量任意一点的邻域中，我们有（一阶泰勒展开）：

\[ \begin{cases} \Delta y_1 = \frac{\partial f_1}{\partial x_1} \Delta x_1 + \dots + \frac{\partial f_1}{\partial x_j} \Delta x_j + \dots + \frac{\partial f_1}{\partial x_n} \Delta x_n \\[2ex] \Delta y_i = \frac{\partial f_i}{\partial x_1} \Delta x_1 + \dots + \frac{\partial f_i}{\partial x_j} \Delta x_j + \dots + \frac{\partial f_i}{\partial x_n} \Delta x_n \\[2ex] \Delta y_1 = \frac{\partial f_m}{\partial x_1} \Delta x_1 + \dots + \frac{\partial f_m}{\partial x_j} \Delta x_j + \dots + \frac{\partial f_m}{\partial x_n} \Delta x_n \end{cases} \]

写成矩阵形式

\[ \begin{pmatrix} \Delta y_1 \\[2ex] \dots \\[2ex] \Delta y_i \\[2ex] \dots \\[2ex] \Delta y_m \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \dots & \frac{\partial f_1}{\partial x_j} & \dots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n} \\[2ex] \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\[2ex] \frac{\partial f_i}{\partial x_1} & \dots & \frac{\partial f_i}{\partial x_j} & \dots & \frac{\partial f_i}{\partial x_n} \\[2ex] \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\[2ex] \frac{\partial f_m}{\partial x_1} & \dots & \frac{\partial f_m}{\partial x_j} & \dots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \Delta x_1 \\[2ex] \dots \\[2ex] \Delta x_j \\[2ex] \dots \\[2ex] \Delta x_n \\[2ex] \end{pmatrix} \]

中间的系数矩阵就是\(m \times n\)的雅克比（Jacobian）矩阵，简化写作： \[ \Delta \vec y = \mathbf J_{m\times n} \,\Delta \vec x \]

观察映射\(f\)的雅可比矩阵：

• 矩阵中第 \(i\) 行 表述为第 \(i\) 个映射 \(f_i : \mathbb R^n \mapsto \mathbb R\) 的梯度（gradient） \[ \nabla f_i = \left(\frac{\partial f_i}{\partial x_1},\, \dots, \, \frac{\partial f_i}{\partial x_j},\, \dots,\, \frac{\partial f_i}{\partial x_n} \right) \]

• 矩阵中第 \(j\) 列 表述为映射沿 \(x_j\) 方向的切向量（tangent vector） \[ \frac{d\,(\vec y)}{d\, x_j} = \left(\frac{\partial f_1}{\partial x_j},\, \dots,\, \frac{\partial f_i}{\partial x_j},\, \dots,\, \frac{\partial f_m}{\partial x_j} \right)^T \]

  也可以理解为一个一维流形： \(\mathbb R \mapsto \mathbb R^m\)

对不同 \(n\) 和 \(m\)，\(\Delta \vec y = \mathbf J_{m \times n} \, \Delta \vec x\) 可以表述不同含义，总体上：

• 若 \(m > n\) ，因变量维度比自变量维度大，那么以上公式表述了低维流形在高维空间中的嵌套，即形状。
• 若 \(m < n\) ，因变量维度比自变量维度小，那么以上公式表述的是高维流形向低维空间的投影。
• 若 \(m = n\) ，则是表述的线性变换，例如旋转、缩放。

值得注意的是，\(\vec y = f(\vec x)\)在局部等价于 \(\Delta \vec y = \mathbf J_{m\times n} \, \Delta \vec{x}\)，而后者可以表述线性变换，前者通过与后者局部等价，可以表述非线性变换。

特别的：

\(m\)	\(n\)	presents
1	1	数到数的映射
2	1	平面上的曲线
1	2	二元函数；灰度图；二维流形向一维空间的投影
2	2	线性变换：旋转、缩放、剪切

二维流形

对形状有更深的理解之后，我们再来讨论二维流形。

为什么是二维流形？

因为人类只能在三维空间中去观察，故能直接观察到的最复杂的形状就是二维流形在三维空间中的嵌套，故着重研究二维流形是有意义的。

并不是所有图形都是流形，但是非流形都可以通过局部流形的拼接表述出来，所以我们只关注流形的特性。