曲面参数化概述

前言

对于如何确定本篇文章的内容涵盖范围这个问题，我想了很久，最终打算从最基本的什么是形状（shape） 这个问题谈起。

形状的本质

在拓扑相关的理论中，形状是指$n-1$维流形（manifold）在$n$维流形中的嵌套。

流形是连续的，详细的定义也较为复杂，可以从以下两点来辅助理解流形的概念：

1. $n$ 维流形的局部与 $\mathbb R^n$ 等价，例如：曲面（二维流形）的局部是二维平面。
2. 对流形进行网格剖分，得到的离散流形除去边缘边之外，其他边有且仅有两个面与之相邻。

所以我们可以认为，在 $\mathbb R^n$ 或更高维欧式空间中观测不同 $n-1$维流形的嵌套，就是在观测不同的形状。

更严谨的，对于一个向量函数，可以表达为 $f: \mathbb {R}^n \mapsto \mathbb {R}^m$.

我们令 $\vec x = \left( x_1,\, \dots,\, x_n \right)^T \in \mathbb R^n$， $\vec y = \left(y_1,\, \dots,\, y_m \right)^T \in \mathbb R^m$，故：

假设 $f$ 是可微的，在自变量任意一点的邻域中，我们有（一阶泰勒展开）：

写成矩阵形式

中间的系数矩阵就是$m \times n$的雅克比（Jacobian）矩阵，简化写作：

观察映射$f$的雅可比矩阵：

• 矩阵中第 $i$ 行 表述为第 $i$ 个映射 $f_i : \mathbb R^n \mapsto \mathbb R$ 的梯度（gradient）

  $$\nabla f_i = \left(\frac{\partial f_i}{\partial x_1},\, \dots, \, \frac{\partial f_i}{\partial x_j},\, \dots,\, \frac{\partial f_i}{\partial x_n} \right)$$

• 矩阵中第 $j$ 列 表述为映射沿 $x_j$ 方向的切向量（tangent vector）

  $$\frac{d\,(\vec y)}{d\, x_j} = \left(\frac{\partial f_1}{\partial x_j},\, \dots,\, \frac{\partial f_i}{\partial x_j},\, \dots,\, \frac{\partial f_m}{\partial x_j} \right)^T$$

  也可以理解为一个一维流形： $\mathbb R \mapsto \mathbb R^m$

对不同 $n$ 和 $m$，$\Delta \vec y = \mathbf J_{m \times n} \, \Delta \vec x$ 可以表述不同含义，总体上：

• 若 $m > n$ ，因变量维度比自变量维度大，那么以上公式表述了低维流形在高维空间中的嵌套，即形状。
• 若 $m < n$ ，因变量维度比自变量维度小，那么以上公式表述的是高维流形向低维空间的投影。
• 若 $m = n$ ，则是表述的线性变换，例如旋转、缩放。

值得注意的是，$\vec y = f(\vec x)$ 在局部等价于 $\Delta \vec y = \mathbf J_{m \times n} \, \Delta \vec {x}$，而后者可以表述线性变换，前者通过与后者局部等价，可以表述非线性变换。

特别的：

二维流形

对形状有更深的理解之后，我们再来讨论二维流形。

为什么是二维流形？

因为人类只能在三维空间中去观察，故能直接观察到的最复杂的形状就是二维流形在三维空间中的嵌套，故着重研究二维流形是有意义的。

并不是所有图形都是流形，但是非流形都可以通过局部流形的拼接表述出来，所以我们只关注流形的特性。